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Pensato per studenti, scrittori e ricercatori

Calcolatrice di integrali con passaggi

Ottieni una primitiva che, derivata, ridà la tua funzione, oppure un integrale definito calcolato come F(b) − F(a).

Prova:

Risposta

Inserisci i tuoi numeri o scegli un esempio: la risposta e i passaggi compaiono qui all'istante.

Integrali indefiniti e definiti

  • Primitive con + C

    Le somme vengono spezzate termine per termine, ciascuno con il suo metodo, e il risultato riceve il suo + C. Prima di essere mostrata, la risposta derivata deve restituire la tua funzione.

  • Integrali definiti tra due estremi

    Inserisci un estremo inferiore e uno superiore e il teorema fondamentale dà F(b) − F(a), in forma esatta quando possibile più un decimale.

  • Calcolo numerico di riserva

    Alcune funzioni, come sin(x²), non hanno una primitiva elementare. In quei casi il valore definito viene calcolato con la regola di Simpson e contrassegnato con ≈.

  • Rifiuta gli intervalli impossibili

    Se la funzione non è definita o non è limitata tra gli estremi, come 1/x da −1 a 1, ottieni una spiegazione invece di un numero fuorviante.

Come integrare con la calcolatrice

  1. Scegli indefinito o definito

    Scegli una primitiva, oppure passa al definito quando ti serve un numero tra due estremi.

  2. Scrivi la funzione e la variabile

    Ad esempio 3x^2 + 2x, x*sin(x) o 1/(1 + x^2), integrata rispetto a x o a un'altra lettera.

  3. Aggiungi gli estremi se servono

    L'estremo inferiore va nel primo campo e quello superiore nel secondo; scambiandoli il segno della risposta si inverte.

  4. Leggi il risultato e lo schema

    Ogni termine mostra il suo metodo: regola della potenza, multiplo costante, sostituzione, integrazione per parti o un integrale notevole.

Come integrare a mano: i metodi da conoscere

La maggior parte degli integrali di un primo corso usa la regola della potenza al contrario: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C per ogni n ≠ −1, mentre ∫ 1/x dx = ln|x| + C copre il caso mancante. Gli integrali delle somme si spezzano termine per termine e le costanti escono dall'integrale, quindi ∫ (3x² + 2x) dx = x³ + x² + C.

La sostituzione annulla la regola della catena. In ∫ 2x·cos(x²) dx, poni u = x², quindi du = 2x dx e l'integrale diventa ∫ cos u du = sin u + C = sin(x²) + C. Cerca una funzione interna la cui derivata compare anche come fattore.

L'integrazione per parti annulla la regola del prodotto: ∫ u dv = uv − ∫ v du. Per ∫ x·sin x dx, prendi u = x e dv = sin x dx, quindi du = dx e v = −cos x. Il risultato è −x·cos x + ∫ cos x dx = −x·cos x + sin x + C.

Per un integrale definito, trova una primitiva F qualsiasi e calcola F(b) − F(a); la costante si annulla. L'integrale da 0 a 2 di 3x² dx è 2³ − 0³ = 8. Prima assicurati che la funzione sia continua sull'intero intervallo: per 1/x² da −1 a 1 la formula darebbe −2, impossibile per una funzione positiva, perché in realtà l'integrale diverge in 0.

Domande frequenti

Ogni funzione ha infinite primitive che differiscono per una costante, perché la derivata di una costante è zero. Il + C le rappresenta tutte insieme.

Funzioni come sin(x²) o e^(−x²) non hanno una primitiva costruita con funzioni elementari. Per un integrale definito la calcolatrice passa allora alla regola di Simpson e indica il valore con ≈.

Perché la funzione diverge o non è definita da qualche parte tra i tuoi estremi, come 1/x tra −1 e 1. Applicare F(b) − F(a) in quel caso darebbe un numero semplicemente sbagliato, quindi la calcolatrice spiega il problema.

Viene derivata e confrontata con la tua funzione originale. Solo un risultato che supera il controllo compare nella scheda della risposta.

Sì; l'integrale, lo schema termine per termine e la verifica vengono eseguiti in locale nel tuo browser, senza account. La spiegazione IA facoltativa è inclusa nei piani Pro* (*uso corretto: fino a 300 utilizzi al giorno in totale tra gli strumenti di scrittura, studio e codice) oppure costa 2 crediti senza piano, e chi non ha effettuato l'accesso ne riceve gratis un'anteprima della prima parte.

Considerali un modo per imparare il metodo e controllare il tuo lavoro, e segui le regole del tuo corso sugli strumenti di IA. La spiegazione scritta dall'IA può contenere errori, quindi confrontala con il risultato verificato della calcolatrice.

Altro aiuto per l'analisi

Pronto a integrare?

Inserisci la funzione, aggiungi gli estremi se ti serve un numero e guarda il metodo per ogni termine.

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