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积分计算器 带步骤
得到一个经过求导验证、能还原为你的函数的原函数，或按 F(b) − F(a) 计算出的定积分。
答案
输入数字或选择一个示例，答案和步骤会立即显示在这里。
不定积分与定积分
如何用计算器求积分
选择不定积分或定积分
求原函数，或在需要两个界限之间的数值时切换到定积分。
输入函数和变量
例如 3x^2 + 2x、x*sin(x) 或 1/(1 + x^2)，对 x 或其他字母积分。
需要时添加上下限
下限填在第一个输入框，上限填在第二个；交换上下限会使答案变号。
查看结果和步骤概要
每一项都会显示所用的方法：幂法则、常数倍、换元法、分部积分法或基本积分公式。
如何手动积分：需要掌握的方法
入门课程中的大多数积分是反向使用幂法则：对任意 n ≠ −1，∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C；而 ∫ 1/x dx = ln|x| + C 补上了缺失的情况。和的积分可以逐项拆开，常数可以提到积分号外，所以 ∫ (3x² + 2x) dx = x³ + x² + C。
换元法是链式法则的逆运算。在 ∫ 2x·cos(x²) dx 中，令 u = x²，则 du = 2x dx，积分变为 ∫ cos u du = sin u + C = sin(x²) + C。要找一个内层函数，它的导数也作为因子出现在被积式中。
分部积分法是乘积法则的逆运算：∫ u dv = uv − ∫ v du。对于 ∫ x·sin x dx，取 u = x、dv = sin x dx，则 du = dx，v = −cos x。结果是 −x·cos x + ∫ cos x dx = −x·cos x + sin x + C。
计算定积分时，求出任意一个原函数 F，再计算 F(b) − F(a)；常数会相互抵消。∫ 从 0 到 2 的 3x² dx = 2³ − 0³ = 8。先要确认函数在整个区间上连续：对于 1/x² 从 −1 到 1，公式会给出 −2，但正函数的积分不可能为负——原因在于这个积分实际上在 0 处发散。
常见问题
每个函数都有无穷多个只相差一个常数的原函数，因为常数的导数为零。+ C 一次代表了所有这些原函数。
sin(x²) 或 e^(−x²) 这样的函数没有由初等函数构成的原函数。对于定积分，计算器会改用辛普森法则，并把结果标注为 ≈。
因为函数在你的上下限之间某处趋于无穷或无定义，例如 1/x 在 −1 到 1 上。在这种情况下套用 F(b) − F(a) 会得到一个完全错误的数字，所以计算器会改为说明问题所在。
对它求导，再与你的原函数比较。只有通过验证的结果才会显示在答案卡片上。
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请把它们当作学习方法、检查自己作业的途径，并遵守课程关于 AI 工具的规定。AI 写的讲解可能有误，请与计算器经过验证的结果对照。