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Gemacht für Studierende, Autoren und Forschende

Integralrechner mit Rechenweg

Erhalte eine Stammfunktion, die zur Probe wieder zu deiner Funktion abgeleitet wurde, oder ein bestimmtes Integral, ausgewertet als F(b) − F(a).

Probier:

Ergebnis

Gib deine Zahlen ein oder wähle ein Beispiel – Ergebnis und Rechenweg erscheinen sofort hier.

Unbestimmte und bestimmte Integrale

  • Stammfunktionen mit + C

    Summen werden Term für Term zerlegt, jeweils mit Methodenhinweis, und das Ergebnis bekommt sein + C. Bevor es angezeigt wird, muss das Ableiten des Ergebnisses wieder deine Funktion liefern.

  • Bestimmte Integrale zwischen Grenzen

    Gib eine untere und eine obere Grenze ein, und der Hauptsatz liefert F(b) − F(a) – wenn möglich exakt, dazu als Dezimalzahl.

  • Numerische Alternative

    Manche Funktionen, etwa sin(x²), haben keine elementare Stammfunktion. Für sie wird der bestimmte Wert mit der Simpsonregel berechnet und mit ≈ markiert.

  • Lehnt unmögliche Bereiche ab

    Ist die Funktion zwischen den Grenzen nicht definiert oder unbeschränkt, wie 1/x von −1 bis 1, bekommst du eine Erklärung statt einer irreführenden Zahl.

So integrierst du mit dem Rechner

  1. Unbestimmt oder bestimmt wählen

    Wähle eine Stammfunktion oder wechsle zu bestimmt, wenn du eine Zahl zwischen zwei Grenzen brauchst.

  2. Funktion und Variable eingeben

    Zum Beispiel 3x^2 + 2x, x*sin(x) oder 1/(1 + x^2), integriert nach x oder einem anderen Buchstaben.

  3. Bei Bedarf Grenzen ergänzen

    Die untere Grenze kommt ins erste Feld, die obere ins zweite; vertauschst du sie, kehrt sich das Vorzeichen des Ergebnisses um.

  4. Ergebnis und Rechenweg lesen

    Jeder Term zeigt seine Methode: Potenzregel, Faktorregel, Substitution, partielle Integration oder ein Standardintegral aus der Tabelle.

So integrierst du von Hand: die wichtigsten Methoden

Die meisten Integrale im ersten Analysis-Kurs nutzen die Potenzregel rückwärts: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C für jedes n ≠ −1, während ∫ 1/x dx = ln|x| + C den fehlenden Fall abdeckt. Integrale von Summen werden Term für Term zerlegt und Konstanten nach vorn gezogen, also ∫ (3x² + 2x) dx = x³ + x² + C.

Die Substitution macht die Kettenregel rückgängig. In ∫ 2x·cos(x²) dx setzt du u = x², also du = 2x dx, und das Integral wird zu ∫ cos u du = sin u + C = sin(x²) + C. Suche nach einer inneren Funktion, deren Ableitung ebenfalls als Faktor vorkommt.

Die partielle Integration macht die Produktregel rückgängig: ∫ u dv = uv − ∫ v du. Für ∫ x·sin x dx setzt du u = x und dv = sin x dx, also du = dx und v = −cos x. Das Ergebnis ist −x·cos x + ∫ cos x dx = −x·cos x + sin x + C.

Für ein bestimmtes Integral suchst du irgendeine Stammfunktion F und berechnest F(b) − F(a); die Konstante fällt weg. ∫ von 0 bis 2 von 3x² dx = 2³ − 0³ = 8. Stelle vorher sicher, dass die Funktion auf dem ganzen Intervall stetig ist: Für 1/x² von −1 bis 1 würde die Formel −2 ergeben, was für eine positive Funktion unmöglich ist, denn das Integral divergiert tatsächlich bei 0.

Häufig gestellte Fragen

Jede Funktion hat unendlich viele Stammfunktionen, die sich um eine Konstante unterscheiden, weil die Ableitung einer Konstanten null ist. Das + C steht für alle auf einmal.

Funktionen wie sin(x²) oder e^(−x²) haben keine Stammfunktion aus elementaren Funktionen. Bei einem bestimmten Integral wechselt der Rechner dann zur Simpsonregel und kennzeichnet den Wert mit ≈.

Weil die Funktion irgendwo zwischen deinen Grenzen gegen unendlich geht oder nicht definiert ist, wie 1/x auf −1 bis 1. F(b) − F(a) würde dort eine Zahl ausgeben, die schlicht falsch ist, deshalb erklärt der Rechner stattdessen das Problem.

Sie wird zurück abgeleitet und mit deiner ursprünglichen Funktion verglichen. Nur ein Ergebnis, das diese Prüfung besteht, erscheint auf der Ergebniskarte.

Ja; das Integral, der Rechenweg Term für Term und die Probe laufen lokal in deinem Browser, ohne Konto. Die optionale KI-Erklärung ist in den Pro-Plänen enthalten* (*Fair Use: bis zu 300 Durchläufe pro Tag über die Schreib-, Lern- und Code-Tools hinweg) oder kostet ohne Plan 2 Credits, und abgemeldete Besucher bekommen eine kostenlose Vorschau ihres ersten Teils.

Nutze ihn, um die Methode zu lernen und deine eigene Arbeit zu prüfen, und halte dich an die Regeln deines Kurses zu KI-Tools. Die von der KI geschriebene Erklärung kann Fehler enthalten, vergleiche sie also mit dem geprüften Ergebnis des Rechners.

Verwandte Hilfe zur Analysis

Bereit zum Integrieren?

Gib die Funktion ein, ergänze Grenzen, wenn du eine Zahl brauchst, und sieh die Methode für jeden Term.

Integral berechnen
  • Durch Ableiten geprüft
  • Exakte Werte plus Dezimalzahlen
  • Simpsonregel als Alternative