학생, 작가, 연구자를 위해 만들었어요
적분 계산기 단계별 풀이
다시 미분해서 원래 함수로 돌아오는지 확인한 역도함수, 또는 F(b) − F(a)로 계산한 정적분을 받아요.
답
숫자를 입력하거나 예시를 고르세요. 답과 풀이 단계가 바로 여기에 나타나요.
부정적분과 정적분
계산기로 적분하는 방법
부정적분 또는 정적분 선택
역도함수를 고르거나, 두 끝 사이의 값이 필요하면 정적분으로 바꾸세요.
함수와 변수 입력
예를 들어 3x^2 + 2x, x*sin(x), 1/(1 + x^2)를 x나 다른 문자에 대해 적분해요.
필요하면 구간 추가
아래끝은 첫 번째 칸에, 위끝은 두 번째 칸에 넣어요. 둘을 바꾸면 답의 부호가 바뀌어요.
결과와 풀이 확인
각 항에 사용한 방법이 표시돼요: 거듭제곱 법칙, 상수배, 치환적분, 부분적분, 기본 적분 공식.
손으로 적분하는 방법: 꼭 알아야 할 기법
기초 미적분에서 다루는 적분은 대부분 거듭제곱 법칙을 거꾸로 써요: n ≠ −1이면 ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C이고, 빠진 경우는 ∫ 1/x dx = ln|x| + C예요. 합의 적분은 항별로 나누고 상수는 밖으로 빼므로 ∫ (3x² + 2x) dx = x³ + x² + C예요.
치환적분은 연쇄 법칙을 되돌려요. ∫ 2x·cos(x²) dx에서 u = x²로 두면 du = 2x dx이고, 적분은 ∫ cos u du = sin u + C = sin(x²) + C가 돼요. 안쪽 함수의 도함수가 인수로 함께 나타나는지 찾아보세요.
부분적분은 곱의 법칙을 되돌려요: ∫ u dv = uv − ∫ v du. ∫ x·sin x dx에서 u = x, dv = sin x dx로 두면 du = dx, v = −cos x예요. 결과는 −x·cos x + ∫ cos x dx = −x·cos x + sin x + C예요.
정적분은 아무 역도함수 F나 구해 F(b) − F(a)를 계산하면 돼요. 상수는 상쇄돼요. 0부터 2까지 ∫ 3x² dx = 2³ − 0³ = 8. 먼저 함수가 구간 전체에서 연속인지 확인하세요. −1부터 1까지의 1/x²에 공식을 적용하면 −2가 나오는데, 양수 함수에서는 불가능한 값이에요. 실제로는 0에서 적분이 발산하기 때문이에요.
자주 묻는 질문
상수의 도함수는 0이므로, 모든 함수에는 상수만큼 차이 나는 역도함수가 무수히 많아요. + C는 그 모두를 한꺼번에 나타내요.
sin(x²)나 e^(−x²) 같은 함수에는 초등함수로 된 역도함수가 없어요. 정적분이라면 계산기가 심프슨 공식으로 바꿔 계산하고 값에 ≈를 표시해요.
−1에서 1까지의 1/x처럼 구간 안 어딘가에서 함수가 발산하거나 정의되지 않기 때문이에요. 그런 곳에 F(b) − F(a)를 적용하면 그냥 틀린 숫자가 나오므로, 계산기는 대신 문제를 설명해 줘요.
다시 미분해서 원래 함수와 비교해요. 통과한 결과만 답 카드에 표시돼요.
네. 적분, 항별 풀이, 검증 모두 계정 없이 브라우저에서 실행돼요. 선택 사항인 AI 설명은 Pro 요금제*에 포함되어 있고(*공정 사용: 글쓰기·학습·코드 도구 합산 하루 최대 300회), 요금제가 없으면 2크레딧이 사용되며, 로그아웃한 방문자는 첫 부분을 무료로 미리 볼 수 있어요.
방법을 익히고 직접 푼 것을 확인하는 수단으로 활용하고, AI 도구에 관한 수업 규칙을 따르세요. AI가 쓴 설명에는 오류가 있을 수 있으니 계산기의 검증된 결과와 비교해 보세요.