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Gleichungslöser mit Rechenweg

Gib eine Gleichung ein, wähle den Buchstaben, nach dem aufgelöst werden soll, und erhalte exakte Lösungen – jede durch Einsetzen in deine Gleichung geprüft.

Probier:

Ergebnis

Gib deine Zahlen ein oder wähle ein Beispiel – Ergebnis und Rechenweg erscheinen sofort hier.

So löst du hier eine Gleichung

  1. Gleichung eingeben

    Schreib sie so, wie du es auf Papier tun würdest. 3(x − 2) + 5 = 2x + 7 funktioniert genau so; implizite Multiplikation, ², √ und π werden akzeptiert.

  2. Variable angeben

    Jeder einzelne Buchstabe funktioniert, eine Gleichung mit mehreren Variablen wie 2x + 3y = 7 lässt sich also nach x oder nach y auflösen.

  3. Auf Berechnen klicken

    Der Löser bringt alle Terme auf eine Seite, fasst gleichartige Terme zusammen und wählt ein Verfahren, das zur gefundenen Gleichung passt.

  4. Die geprüften Lösungen lesen

    Jede Lösung wird in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt, bevor sie aufgeführt wird. Näherungslösungen tragen das ≈-Zeichen.

Welches Verfahren er nutzt

Der Rechenweg nennt den Ansatz, damit du denselben auf Papier üben kannst.

  • Lineare Gleichungen

    Terme werden zusammengefasst und die Variable isoliert, aus 3(x − 2) + 5 = 2x + 7 wird also 3x − 1 = 2x + 7 und dann x = 8.

  • Quadratische Gleichungen

    Der Rechenweg nennt a, b und c, berechnet die Diskriminante b² − 4ac und wendet die Mitternachtsformel mit vereinfachter Wurzel an: x² − 2x − 1 = 0 ergibt x = 1 ± √2.

  • Polynome bis Grad 10

    Der Test auf rationale Nullstellen schlägt Kandidaten vor, und das Horner-Schema spaltet jede bestätigte Nullstelle ab. Der Rest geht an die Mitternachtsformel oder, wenn keine rationalen Nullstellen mehr übrig sind, an ein numerisches Verfahren.

  • Komplexe Lösungen

    Eine negative Diskriminante liefert ein komplexes Paar statt eines knappen „keine Lösung“: x² + 2x + 5 = 0 ergibt x = −1 ± 2i.

  • Exponential- und trigonometrische Gleichungen

    Bei Gleichungen wie 2^x = 8 oder sin x = 1/2 wird eine geprüfte exakte Lösung angezeigt, wenn eine gefunden wird; andernfalls bekommst du numerische Lösungen zwischen −20 und 20, markiert mit ≈.

  • Allgemeingültige und unlösbare Gleichungen

    Stimmen beide Seiten immer überein, wie bei 2(x + 1) = 2x + 2, ist jeder Wert eine Lösung. Können sie nie übereinstimmen, wie bei x + 1 = x + 3, erfährst du, dass es keine gibt.

So löst du von Hand nach x auf

Die Regel hinter jedem Schritt ist das Gleichgewicht: Was du auf einer Seite einer Gleichung tust, tust du auch auf der anderen. Dieselbe Größe addieren oder subtrahieren oder beide Seiten mit derselben Zahl ungleich null multiplizieren oder dividieren lässt die Lösungen unverändert. Nimm 5x − 4 = 2x + 11. Ziehe auf beiden Seiten 2x ab und erhalte 3x − 4 = 11, addiere 4 und erhalte 3x = 15, teile dann durch 3 und komm auf x = 5.

Quadratische Gleichungen brauchen einen anderen Ansatz, weil die Variable im Quadrat vorkommt. Bring alles auf eine Seite, sodass die Gleichung ax² + bx + c = 0 lautet, und faktorisiere dann oder nutze x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. Für 2x² + x − 6 = 0 ist a = 2, b = 1 und c = −6, die Diskriminante also 1 + 48 = 49 und x = (−1 ± 7) / 4, was x = 3/2 oder x = −2 ergibt.

Mach zum Schluss die Probe. Setze jede Lösung in die ursprüngliche Gleichung ein, nicht in eine umgeformte Zeile, denn ein früher Fehler zieht sich durch alle späteren Schritte. Das Teilen durch einen Ausdruck mit x oder das Quadrieren beider Seiten kann Lösungen verlieren oder hinzuerfinden – genau dann ist die Probe am wichtigsten.

Häufig gestellte Fragen

Ja. Gib einen beliebigen einzelnen Buchstaben ins Feld Variable ein. Eine Gleichung wie 2x + 3y = 7 nach x aufgelöst ergibt x = (7 − 3y)/2, wobei die anderen Buchstaben als Konstanten behandelt werden.

Er löst Polynomgleichungen bis Grad 10. Rationale Nullstellen kommen exakt heraus, ein verbleibender quadratischer Faktor läuft über die Mitternachtsformel, und alles darüber hinaus wird numerisch angenähert und mit ≈ markiert.

Eine negative Diskriminante bedeutet, dass die quadratische Gleichung keine reellen Lösungen hat. Der Rechner gibt dann das komplexe Paar an, etwa −1 ± 2i; will dein Kurs nur reelle Lösungen, lautet die Antwort, dass es keine gibt.

Nein. Der natürliche Logarithmus wird ln geschrieben (Basis e), log steht für die Basis 10 – die Lösung von log(x) = 2 ist also x = 100.

Der Löser, sein Rechenweg und die Einsetzproben sind kostenlos und laufen ohne Konto in deinem Browser. Eine vollständige ausformulierte Erklärung des KI-Mathe-Lösers ist in den Pro-Plänen enthalten* (*Fair Use: bis zu 300 Durchläufe pro Tag über die Schreib-, Lern- und Code-Tools hinweg) oder kostet ohne Plan 2 Credits; abgemeldet kannst du ihren Anfang als kostenlose Vorschau lesen.

Nutze ihn, um bereits erarbeitete Ergebnisse zu überprüfen und zu sehen, welches Verfahren passt. Halte dich an die Regeln deiner Lehrkraft zu KI-Tools und denk daran, dass die KI-Erklärung – anders als die per Einsetzen geprüften Lösungen – Fehler enthalten kann.

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Hast du eine Gleichung zu lösen?

Gib sie ein, wähle die Variable und erhalte exakte Lösungen, die zur Probe eingesetzt wurden.

Nach x auflösen
  • Exakte Wurzeln und Brüche
  • Jede Lösung geprüft
  • Polynome bis Grad 10